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Exercices / Terminale / Produit scalaire

Mathématiques · Terminale · Produit scalaire

Produit scalaire dans l'espace — angles, orthogonalité, distance

Deux exercices type : calculer un produit scalaire et un angle, puis utiliser un vecteur normal pour une équation de plan et une distance point-plan.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Produit scalaire et angle

En repère orthonormé, le produit scalaire se calcule par les coordonnées : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'. Et il relie longueurs et angle : u⃗⋅v⃗=∥u⃗∥ ∥v⃗∥cos⁡(u⃗,v⃗)\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\vec u,\vec v) — c'est cette double lecture qui permet de trouver un angle. On donne A(1 ;2 ;−1)A(1\,;2\,;-1), B(3 ;0 ;1)B(3\,;0\,;1), C(2 ;1 ;2)C(2\,;1\,;2).
  1. Déterminer les coordonnées de AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC}.
  2. Calculer le produit scalaire AB⃗⋅AC⃗\vec{AB}\cdot\vec{AC}.
  3. En déduire une valeur approchée, au degré près, de l'angle BAC^\widehat{BAC}.
Voir la correction

1. AB⃗=(3−1 ;0−2 ;1−(−1))=(2 ;−2 ;2)\vec{AB}=(3-1\,;0-2\,;1-(-1))=(2\,;-2\,;2) et AC⃗=(2−1 ;1−2 ;2−(−1))=(1 ;−1 ;3)\vec{AC}=(2-1\,;1-2\,;2-(-1))=(1\,;-1\,;3).

2. En repère orthonormé, on somme les produits des coordonnées : AB⃗⋅AC⃗=2×1+(−2)×(−1)+2×3=2+2+6=10\vec{AB}\cdot\vec{AC}=2\times1+(-2)\times(-1)+2\times3=2+2+6=10.

3. On combine les deux expressions du produit scalaire. Les normes : ∥AB⃗∥=4+4+4=23\|\vec{AB}\|=\sqrt{4+4+4}=2\sqrt3 et ∥AC⃗∥=1+1+9=11\|\vec{AC}\|=\sqrt{1+1+9}=\sqrt{11}. Alors cos⁡BAC^=AB⃗⋅AC⃗∥AB⃗∥ ∥AC⃗∥=1023×11=533≈0,870\cos\widehat{BAC}=\dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\|\,\|\vec{AC}\|}=\dfrac{10}{2\sqrt3\times\sqrt{11}}=\dfrac{5}{\sqrt{33}}\approx0{,}870. D'où BAC^≈30∘\widehat{BAC}\approx30^\circ.

Le réflexe à retenir

Le produit scalaire a deux visages : analytique (xx′+yy′+zz′xx'+yy'+zz', pour calculer) et géométrique (∥u⃗∥∥v⃗∥cos⁡θ\|\vec u\|\|\vec v\|\cos\theta, pour un angle). Pour trouver un angle : on calcule le produit scalaire et les normes par les coordonnées, puis on isole cos⁡θ\cos\theta. Produit scalaire nul ⇔ vecteurs orthogonaux.

Exercice 2 — Vecteur normal, équation de plan et distance

Un vecteur normal n⃗\vec n « pilote » un plan : il en donne l'équation cartésienne, et sert à mesurer la distance d'un point au plan. On considère A(1 ;1 ;2)A(1\,;1\,;2) et n⃗(2 ;−1 ;3)\vec n(2\,;-1\,;3).
  1. Déterminer une équation cartésienne du plan P\mathcal{P} passant par AA et de vecteur normal n⃗\vec n.
  2. Le point B(0 ;3 ;1)B(0\,;3\,;1) appartient-il à P\mathcal{P} ?
  3. Calculer la distance du point C(3 ;1 ;2)C(3\,;1\,;2) au plan P\mathcal{P}.
Voir la correction

1. Le vecteur normal donne directement les coefficients : l'équation est de la forme 2x−y+3z+d=02x-y+3z+d=0. On fixe dd en imposant le passage par AA : 2×1−1+3×2+d=02\times1-1+3\times2+d=0, soit 7+d=07+d=0, donc d=−7d=-7. Équation : 2x−y+3z−7=02x-y+3z-7=0.

2. On teste les coordonnées de B(0 ;3 ;1)B(0\,;3\,;1) dans l'équation : 2×0−3+3×1−7=−3+3−7=−7≠02\times0-3+3\times1-7=-3+3-7=-7\neq0. Le point n'annule pas l'équation, donc B∉PB\notin\mathcal{P}.

3. On applique la formule de la distance point-plan ∣axC+byC+czC+d∣a2+b2+c2\dfrac{|ax_C+by_C+cz_C+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} : ∣2×3−1+3×2−7∣4+1+9=∣4∣14=414=41414≈1,07\dfrac{|2\times3-1+3\times2-7|}{\sqrt{4+1+9}}=\dfrac{|4|}{\sqrt{14}}=\dfrac{4}{\sqrt{14}}=\dfrac{4\sqrt{14}}{14}\approx1{,}07.

Le réflexe à retenir

Un vecteur normal (a,b,c)(a,b,c) donne l'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 ; on fixe dd avec un point. Pour tester l'appartenance d'un point : on remplace ses coordonnées (résultat 00 ⇔ sur le plan). La distance point-plan est ∣ax0+by0+cz0+d∣a2+b2+c2\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.