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Statistiques — moyenne, écart-type, quartiles (techno)

Deux exercices type : calculer moyenne et écart-type d'une série, puis déterminer médiane et quartiles.

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Moyenne et écart-type

La moyenne situe le centre ; l'écart-type mesure la dispersion autour de ce centre. On relève les notes

8,\ 12,\ 14,\ 10,\ 6

Calculer la moyenne $\bar x$ de cette série.
Calculer la variance puis l'écart-type (arrondi à $10^{-2}$ ).

Voir la correction

1. $\bar x=\dfrac{8+12+14+10+6}{5}=\dfrac{50}{5}=10$ .

2. La variance est la **moyenne des carrés des écarts à $\bar x$ ** : $V=\dfrac{(8-10)^2+(12-10)^2+(14-10)^2+(10-10)^2+(6-10)^2}{5}=\dfrac{4+4+16+0+16}{5}=8$ . L'écart-type est sa racine : $\sigma=\sqrt8\approx2{,}83$ .

Le réflexe à retenir

Moyenne = centre. Variance = moyenne des carrés des écarts à la moyenne. Écart-type $\sigma=\sqrt{V}$ : il revient dans l'unité des données et se lit comme une « dispersion typique ».

Exercice 2 — Médiane et quartiles

Sur une série ordonnée, la médiane coupe en deux moitiés,

Q_1

Q_3

marquent le premier et le dernier quart. On ordonne :

6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14

(

5

valeurs).

Déterminer la médiane.
Déterminer le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$ .

Voir la correction

1. Avec $5$ valeurs, la médiane est la valeur centrale, la $3^\text{e}$ : $\text{Me}=10$ .

2. $Q_1$ est la valeur de rang $\geq\tfrac{5}{4}=1{,}25$ , donc la $2^\text{e}$ : $Q_1=8$ . $Q_3$ est de rang $\geq\tfrac{3\times5}{4}=3{,}75$ , donc la $4^\text{e}$ : $Q_3=12$ .

Le réflexe à retenir

Toujours ordonner la série d'abord. Médiane = valeur centrale (ou moyenne des deux centrales). Pour $Q_1$ : rang $\geq\tfrac n4$ ; pour $Q_3$ : rang $\geq\tfrac{3n}4$ (on arrondit au rang supérieur).