Mathématiques · Terminale · Suites

Suites — arithmétiques et géométriques (techno)

Deux exercices type : suite arithmétique (terme général, somme) et suite géométrique (croissance en pourcentage).

2 exercices corrigés

Exercice 1 — Suite arithmétique

Le réflexe de reconnaissance : si on ajoute toujours le même nombre d'un terme au suivant, la suite est arithmétique, de raison

r

, et

u_n=u_0+nr

. Une salle de sport compte

200

adhérents et en gagne

15

chaque mois (

u_0=200

Justifier que $(u_n)$ est arithmétique et exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
Calculer le nombre d'adhérents au bout de $12$ mois.

Voir la correction

1. Chaque mois, on passe d'un terme au suivant en **ajoutant $15$ ** : c'est la définition d'une suite arithmétique de raison $r=15$ , avec $u_0=200$ . La formule du terme général donne $u_n=u_0+nr=200+15n$ .

2. On remplace $n$ par $12$ : $u_{12}=200+15\times12=200+180=380$ adhérents.

Le réflexe à retenir

Suite arithmétique = on ajoute toujours $r$ → $u_n=u_0+nr$ . C'est le modèle d'une croissance régulière (même quantité à chaque étape). À ne pas confondre avec le modèle géométrique (multiplication).

Exercice 2 — Suite géométrique

Autre réflexe : si on multiplie toujours par le même nombre, la suite est géométrique, de raison

q

, et

v_n=v_0\,q^n

. Un capital de

1000

€ placé à

5\%

par an (

v_0=1000

Justifier que $(v_n)$ est géométrique et donner sa raison.
Exprimer $v_n$ puis calculer le capital au bout de $10$ ans (arrondi au centime).

Voir la correction

1. Augmenter de $5\%$ , c'est **multiplier par $1{,}05$ ** — la même opération chaque année : $(v_n)$ est donc géométrique de raison $q=1{,}05$ .

2. Le terme général d'une suite géométrique est $v_n=v_0\,q^n=1000\times1{,}05^{n}$ . Au bout de $10$ ans : $v_{10}=1000\times1{,}05^{10}\approx1628{,}89$ €.

Le réflexe à retenir

Une évolution en pourcentage est toujours géométrique : $+t\%$ ⇔ multiplier par $1+\tfrac{t}{100}$ . D'où $v_n=v_0\,q^n$ . Retiens la distinction : ajouter → arithmétique, multiplier → géométrique.